Grupy topologiczne

Grupy topologiczne - L. S. Pontryagin

Grupa topologiczna – grupa na której określona jest jednocześnie struktura przestrzeni topologicznej w taki sposób, że zarówno działanie grupowe jak i operacja brania elementu odwrotnego są funkcjami ciągłymi. Zadane na grupie struktury algebraiczna i topologiczna przeplatają się w nietrywialny sposób. Na przykład składowa jedynki, czyli składowa spójności zawierająca jedynkę grupy, jest zawsze domkniętą podgrupą normalną. Operacja brania elementu odwrotnego grupy jest homeomorfizmem grupy na siebie. Podobnie, homeomorfizmem jest odwzorowanie polegające na mnożeniu przez ustalony element grupy. Dowolna grupa topologiczna jest przykładem przestrzeni jednostajnej. Okazuje się, że zarówno mnożenie lewostronne, jak i prawostronne są odwzorowaniami jednostajnie ciągłymi, przy czym w przypadku grupy nieapelowej „jednostajność lewostronna” nie musi pokrywać się z „jednostajnością prawostronną”. Struktura jednostajna na grupie pozwala badać zupełność, jednostajną ciągłość i jednostajną zbieżność. Lew Pontriagin (ros. Лев Семёнович Понтрягин, ur. 3 września 1908 w Moskwie, zm. 3 maja 1988 w Moskwie) – matematyk rosyjski. W roku 1922 roku w wieku 14 lat uległ wypadkowi, w wyniku którego stracił wzrok. Mimo to dzięki pomocy matki skończył w wieku 21 lat Uniwersytet Moskiewski i stał się jednym z najwybitniejszych matematyków XX wieku.