Brzękowski uczęszczał do gimnazjum w Nowym Sączu i w Bochni. Absolwent filologii polskiej i farmacji na UJ. Uzyskał w 1927 roku stopień doktora za rozprawę pt. Legenda Don Juana i jej wpływ na literaturę polską. Studiował także na Sorboniei w paryskiej École du Journalisme. Uczestnik plebiscytu na Śląsku w 1920 roku. Debiutował w 1921 roku na łamach "Gazety Literackiej" jako poeta. W 1922 związany był z grupą młodych poetów krakowskich, określających się jako negatywiści[1]. W 1925 roku wydał pierwszy tomik poezji Tętno drukowany w "Zwrotnicy". Redagował czasopismo "Linia". Działał w kręgu awangardy krakowskiej. Współtworzył grupę artyści rewolucyjni.

W 1928 roku wyjechał do Francji. W latach 1929-1930 redaktor dwujęzycznego pisma „L'Art Contemporain – Sztuka Współczesna”. Pisał poezję w języku francuskim, wydając kilka tomików ilustrowanych przez Hansa Arpa i M. Ernsta i Fernanda Légera. W latach 1937–1940 był szefem biura prasowego Ambasady RP, działał w czasie wojny w zarządzie Polskiego Czerwonego Krzyża w Vichy, uczestniczył we francuskim ruchu oporu w latach 1940–1944. W 1940 roku ożenił się z rzeźbiarką Suzanne de Lamer. W latach 1944–1945 był attaché prasowym Ambasady RP. Od 1946 do 1964 roku był dyrektorem uzdrowiska i hotelu w Amélie-les-Bains, gdzie również mieszkał. Od 1964 roku przebywał w Paryżu. W 1979 odnowił po 50 latach dyplom doktorski na UJ. Publikował m.in. w czasopismach emigracyjnych „Kultura”, „Wiadomości”, „Oficyna Poetów” i krajowych „Twórczość”, „Tygodnik Powszechny”, „Życie Literackie”, „Miesięcznik Literacki”, „Poezja”